卷第五 商功
卷第五 商功
〔一〕今有穿地积一万尺。问︰为坚、壤各几何？
荅曰：为坚七千五百尺。为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。城、垣、隄、沟、壍、渠，皆同术。
术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。
〔一〕现在有挖出的土方体积为一万立方尺。问：夯实的土和松软的土各是多少？
答案：夯实的土为七千五百立方尺。松软的土为一万二千五百立方尺。
算法：挖出的土（虚土）为四份，松土为五份，实土为三份，墟土为四份。用挖出的土求松土，乘以五；求实土，乘以三，都除以四。用松土求挖出的土，乘以四；求实土，乘以三，都除以五。用实土求挖出的土，乘以四；求松土，乘以五，都除以三。城墙、垣墙、堤坝、沟渠、壕沟、水渠，都用同样的算法。
算法：合并上宽和下宽并取一半，乘以高或深，再乘以长，就得到体积立方尺。
〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问︰积几何？
荅曰：一百八十九万七千五百尺。
〔二〕现在有一座城，下宽四丈，上宽二丈，高五丈，长一百二十六丈五尺。问：体积是多少？
答案：一百八十九万七千五百立方尺。
〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问︰积几何？
荅曰：六千七百七十四尺。
〔三〕现在有一道垣墙，下宽三尺，上宽二尺，高一丈二尺，长二十二丈五尺八寸。问：体积是多少？
答案：六千七百七十四立方尺。
〔四〕今有隄下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问︰积几何？
荅曰：七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺。问︰用徒几何？
荅曰：一十六人、一百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。
〔四〕现在有一条堤坝，下宽二丈，上宽八尺，高四尺，长一十二丈七尺。问：体积是多少？
答案：七千一百一十二立方尺。
冬季每人工作量是四百四十四立方尺。问：需要多少人工？
答案：十六人，又一百一十一分之二人。
算法：以体积立方尺作为被除数，每人工作量立方尺数作为除数，被除数除以除数，就得到需要的人工数。
〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问︰积几何？
荅曰：四千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问︰用徒几何？
荅曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。
〔五〕现在有一条沟，上宽一丈五尺，下宽一丈，深五尺，长七丈。问：体积是多少？
答案：四千三百七十五立方尺。
春季每人工作量是七百六十六立方尺，加上出土工作量占五分之一，实际工作量为六百一十二又五分之四立方尺。问：需要多少人工？
答案：七人，又三千六十四分之四百二十七人。
算法：设置每人原工作量，去掉其五分之一，余数作为除数。以沟的体积立方尺作为被除数。被除数除以除数，就得到需要的人工数。
〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问︰积几何？
荅曰：一万九百四十三尺八寸。
夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问︰用徒几何？
荅曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。
〔六〕现在有一条壕沟，上宽一丈六尺三寸，下宽一丈，深六尺三寸，长一十三丈二尺一寸。问：体积是多少？
答案：一万九百四十三点八立方尺。
夏季每人工作量是八百七十一立方尺。加上出土工作量占五分之一，沙砾水石的工作量占大半，实际工作量为二百三十二又十五分之四立方尺。问：需要多少人工？
答案：四十七人，又三千四百八十四分之四百零九人。
算法：设置每人原工作量，去掉其出土工作量五分之一，又去掉沙砾水石工作量的大半，余数作为除数。以壕沟的体积立方尺作为被除数。被除数除以除数，就得到需要的人工数。
〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问︰积几何？
荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，问︰用徒几何？
荅曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。
一千人先到，问︰当受袤几何？
荅曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。
〔七〕现在挖一条水渠，上宽一丈八尺，下宽三尺六寸，深一丈八尺，长五万一千八百二十四尺。问：体积是多少？
答案：一千零七万四千五百八十五点六立方尺。
秋季每人工作量是三百立方尺，问：需要多少人工？
答案：三万三千五百八十二人工作量。还少十四点四立方尺。
有一千人先到，问：他们应当承担多长的渠段？
答案：一百五十四丈三尺二寸，又八十一分之八寸。
算法：以一人工作量立方尺数，乘以先到人数作为被除数。合并渠的上宽和下宽并取一半，以深度乘之作为除数。被除数除以除数得到长度的尺数。
〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问︰积几何？
荅曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。
〔八〕现在有一个方形堡垒，边长一丈六尺，高一丈五尺。问：体积是多少？
答案：三千八百四十立方尺。
算法：边长自乘，再乘以高，就得到体积立方尺。
〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问︰积几何？
荅曰：二千一百一十二尺。
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔九〕现在有一个圆形堡垒，周长四丈八尺，高一丈一尺。问：体积是多少？
答案：二千一百一十二立方尺。
算法：周长自乘，再乘以高，除以十二。
〔一〇〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问︰积几何？
荅曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。
术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔一〇〕现在有一个方形亭台，下底边长五丈，上顶边长四丈，高五丈。问：体积是多少？
答案：十万一千六百六十六又三分之二立方尺。
算法：上下边长相乘，又各自自乘，加起来，再乘以高，除以三。
〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问︰积几何？
荅曰：五百二十七尺、九分尺之七。
术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。
〔一一〕现在有一个圆形亭台，下底周长三丈，上顶周长二丈，高一丈。问：体积是多少？
答案：五百二十七又九分之七立方尺。
算法：上、下周长相乘，又各自自乘，加起来，再乘以高，除以三十六。
〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问︰积几何？
荅曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔一二〕现在有一个方形锥体，下底边长二丈七尺，高二丈九尺。问：体积是多少？
答案：七千零四十七立方尺。
算法：下底边长自乘，再乘以高，除以三。
〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问︰积几何？
荅曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。
术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔一三〕现在有一个圆锥体，下底周长三丈五尺，高五丈一尺。问：体积是多少？
答案：一千七百三十五又十二分之五立方尺。
算法：下底周长自乘，再乘以高，除以三十六。
〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问︰积几何？
荅曰：四万六千五百尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。
〔一四〕现在有一个堑堵（三棱柱），下宽二丈，长一十八丈六尺，高二丈五尺。问：体积是多少？
答案：四万六千五百立方尺。
算法：宽和长相乘，再乘以高，除以二。
〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问︰积几何？
荅曰：九十三尺、少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。
〔一五〕现在有一个阳马（四棱锥），宽五尺，长七尺，高八尺。问：体积是多少？
答案：九十三又三分之一立方尺。
算法：宽和长相乘，再乘以高，除以三。
〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问︰积几何？
荅曰：二十三尺、少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。
〔一六〕现在有一个鳖臑（四面体），下宽五尺，没有长，上长四尺，没有宽，高七尺。问：体积是多少？
答案：二十三又三分之一立方尺。
算法：宽和长相乘，再乘以高，除以六。
〔一七〕今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问︰积几何？
荅曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔一七〕现在有一个羡除（楔形体），下宽六尺，上宽一丈，深三尺，末端宽八尺，没有深，长七尺。问：体积是多少？
答案：八十四立方尺。
算法：合并三个宽度，乘以深，再乘以长，除以六。
〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问︰积几何？
荅曰：五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。
刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。
术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。
〔一八〕现在有一个刍甍（草屋顶形），下宽三丈，长四丈，上长二丈，没有宽，高一丈。问：体积是多少？
答案：五千立方尺。
算法：下长加倍，加上上长，乘以宽，再乘以高，除以六。
刍童、曲池、盘池、冥谷，都用同样的算法。
算法：上长加倍，加上下长；也下长加倍，加上上长；各自乘以各自的宽，加起来，再乘以高或深，都除以六。对于曲池，合并上中周和外周并取一半，作为上长；也合并下中周和外周并取一半，作为下长。
〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问︰积几何？
荅曰：二万六千五百尺。
〔一九〕现在有一个刍童（梯形棱台），下宽二丈，长三丈，上宽三丈，长四丈，高三丈。问：体积是多少？
答案：二万六千五百立方尺。
〔二〇〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问︰积几何？
荅曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。
〔二〇〕现在有一个曲池（弯曲水池），上中周长二丈，外周长四丈，宽一丈，下中周长一丈四尺，外周长二丈四尺，宽五尺，深一丈。问：体积是多少？
答案：一千八百八十三点三又三分之一寸立方尺。
〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问︰积几何？
荅曰：七万六百六十六尺、太半尺。
负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问︰人到、积尺、用徒各几何？
荅曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔二一〕现在有一个盘池（方形水池），上宽六丈，长八丈，下宽四丈，长六丈，深二丈。问：体积是多少？
答案：七万零六百六十六又三分之二立方尺。
背土往返七十步，其中二十步是上下棚架通道。棚架通道二步相当于平路五步，徘徊时间每十步加一步，装载运输之间三十步，确定一次往返为一百四十步。土筐容量一尺六寸，秋季每人行程五十九里半。问：每人运土量、总体积、所需人工各是多少？
答案：每人运土量二百零四立方尺。需要人工三百四十六人，又一百五十三分之六十二人。
算法：以一筐容量立方尺乘以每人行程步数作为被除数。往返上下，棚架通道二步相当于平路五步。设置确定的往返步数，每十步加一步，以及装载运输之间的三十步作为除数。相除，所得就是每人运到的立方尺数。用每人运到的尺数除总体积立方尺，就得到所需人工数。
〔二二〕今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问︰积几何？
荅曰：五万二千尺。
载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问︰人到积尺及用徒各几何？
荅曰：人到二百一尺、五十分尺之十三。用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。
〔二二〕现在有一个冥谷（深谷），上宽二丈，长七丈，下宽八尺，长四丈，深六丈五尺。问：体积是多少？
答案：五万二千立方尺。
运土往返二百步，装载运输之间一里，行程五十八里，六人共用一辆车，每车载三十四点七立方尺。问：每人运土量和所需人工各是多少？
答案：每人运土量二百零一又五十分之十三立方尺。需要人工二百五十八人，又一万零六十三分之三千七百四十六人。
算法：以一车容量立方尺乘以每人行程步数作为被除数。设置现在的往返步数，加上装载运输之间的一里，再乘以每车六人，作为除数。相除，所得就是每人运到的立方尺数。用每人运到的尺数除总体积立方尺，就得到所需人工数。
〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问︰积及为粟几何？
荅曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。
〔二三〕现在有粟米堆放在平地上，底周长一十二丈，高二丈。问：体积和折合粟米各是多少？
答案：体积八千立方尺。折合粟米二千九百六十二又二十七分之二十六斛。
〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问︰积及为菽各几何？
荅曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。
〔二四〕现在有豆子堆放在靠墙处，底周长三丈，高七尺。问：体积和折合豆子各是多少？
答案：体积三百五十立方尺。折合豆子一百四十四又二百四十三分之八斛。
〔二五〕今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问︰积及为米几何？
荅曰：积三十五尺、九分尺之五。为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。
委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。
程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、答、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。
〔二五〕现在有米堆放在墙内角处，底周长八尺，高五尺。问：体积和折合米各是多少？
答案：体积三十五又九分之五立方尺。折合米二十一斛，又七百二十九分之六百九十一斛。
堆放粟米的算法：底周长自乘，乘以高，除以三十六。靠墙堆放的，除以十八。靠墙内角堆放的，除以九。
标准：粟米一斛，体积二尺七寸。米一斛，体积一尺六又五分之一寸。豆子、小豆、芝麻、麦子一斛，体积都是二尺四又十分之三寸。
〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问︰穿地下广几何？
荅曰：三尺、五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，余即下广。
〔二六〕现在挖一个坑，长一丈六尺，深一丈，上宽六尺，筑成垣墙体积五百七十六立方尺。问：坑的下宽是多少？
答案：三尺又五分之三尺。
算法：设置垣墙体积立方尺，乘以四作为被除数。以深和长相乘，再乘以三，作为除数。所得结果加倍，减去上宽，余数就是下宽。
〔二七〕今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问︰高几何？
荅曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。
〔二七〕现在有一个粮仓，宽三丈，长四丈五尺，能容纳粟米一万斛。问：高是多少？
答案：二丈。
算法：设置粟米一万斛的体积立方尺作为被除数。宽和长相乘作为除数。被除数除以除数，得到高的尺数。
〔二八〕今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问︰周几何？
荅曰：五丈四尺。
术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。
〔二八〕现在有一个圆形粮囤，高一丈三尺三又三分之一寸，能容纳米二千斛。问：周长是多少？
答案：五丈四尺。
算法：设置米的体积立方尺，乘以十二，除以高，所得结果，开平方，就是周长。