卷七十四 ◄
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卷七十五 志第28 律历八
卷七十五 志第二十八 律历八
明天历
明天历
步晷漏术
推算日影和漏刻的方法
二至限：一百八十一日六十二分。
二至限：一百八十一天六十二分。
一象度：九十一度三十一分。
一象度：九十一度三十一分。
消息法：一万六百八十九。
消息法：一万零六百八十九。
辰法：三千二百五十。
辰法：三千二百五十。
刻法：三百九十。
刻法：三百九十。
半辰法：一千六百二十五。
半辰法：一千六百二十五。
昏明刻分：九百七十五。
昏明刻分：九百七十五。
昏明：二刻一百九十五分。
昏明：二刻一百九十五分。
冬至岳台晷景常数：一丈二尺八寸五分。
冬至岳台日影常数：一丈二尺八寸五分。
夏至岳台晷景常数：一尺五寸七分。
夏至岳台日影常数：一尺五寸七分。
冬至后初限，夏至后末限：四十五日六十二分。
冬至后的初限，夏至后的末限：四十五天六十二分。
夏至后初限，冬至后末限：一百三十七日。
夏至后的初限，冬至后的末限：一百三十七天。
求岳台晷景入二至后日数：计入二至后来日数，以二至约余减之，仍加半日之分，即为入二至后来日午中积数及分。
求岳台日影进入冬至或夏至后的天数：计算从冬至或夏至到某日的天数，用二至的余数减去它，再加上半日的分数，就是进入冬至或夏至后某日正午的累积数及分数。
求岳台晷景午中定数：置所求午中积数，如初限以下者为在初；已上者，覆减二至限，余为在末其在冬至后初限，夏至后末限者，以入限日减一千九百三十七半，为泛差；仍以入限日分乘其日盈缩积，盈缩积在日度术中。
求岳台日影正午定数：将所求的正午累积数，如果在初限以下则为在初段；如果在初限以上，则用二至限减去它，余数为在末段。对于冬至后初限、夏至后末限的情况，用进入限期的天数减去一千九百三十七半，得到泛差；再用进入限期的日分数乘以当天的盈缩积（盈缩积在日度术中）。
五因百约之，用减泛差，为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸，为分及小分，以减冬至常晷，余为其日午中晷景定数若所求入冬至后末限，夏至后初限者，乃三约入限日分，以减四百八十五少，余为泛差。仍以盈缩差减极数，余者若在春分后，秋分前者，直以四约之，以加泛差，为定差；若春分前，秋分后者，以去二分日数及分乘之，满六百而一，以减泛差，余为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸，为分及小分，以加夏至常晷，即为其日午中晷景定数。
乘以五再除以一百，用这个结果减去泛差，得到定差；然后用进入限期的日分数自乘，再乘以定差，满一百万为一尺，不满则为寸、分及小分，用这个结果减去冬至常影，余数就是当天正午日影的定数。如果所求进入冬至后末限、夏至后初限，则将进入限期的日分数除以三，再用四百八十五少减去它，余数为泛差。再用盈缩差减去极数，余数如果在春分后、秋分前，直接除以四，加上泛差，得到定差；如果在春分前、秋分后，用距离春分或秋分的天数及分数乘以它，满六百则除以一，用这个结果减去泛差，余数为定差；然后用进入限期的日分数自乘，再乘以定差，满一百万为一尺，不满则为寸、分及小分，加上夏至常影，就是当天正午日影的定数。
求每日消息定数：置所求日中日度分，如在二至限以下者为在息；以上者去之，余为在消又视入消息度加一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，余为在末。其初，末度自相乘，以一万乘而再折之，满消息法除之，为常数。乃副之，用减一千九百五十，余以乘其副，满八千六百五十除之，所得以加常数，为所求消息定数。
求每日消息定数：将所求日的中日度分，如果在二至限以下则为在息段；如果在二至限以上，则去掉它，余数为在消段。再看进入消息度，如果加一象以下则为在初段；如果在以上，则用二至限减去它，余数为在末段。将初段或末段的度数自乘，乘以一万再折半，满消息法相除，得到常数。再取一个副数，用一千九百五十减去它，余数乘以副数，满八千六百五十相除，所得结果加上常数，就是所求的消息定数。
求每日黄道去极度及赤道内外度：置其日消息定数，以四因之，满三百二十五除之为度，不满，退除为分，所得，在春分后加六十七度三十一分，在秋分后减一百一十五度三十一分，即为所求日黄道去极度及分。以黄道去极度与一象度相减，余为赤道内，外度。若去极度少，为日在赤道内；若去极度多，为日在赤道外。
求每日黄道去极度及赤道内外度：将当天的消息定数乘以四，满三百二十五相除得到度数，不满则退位得到分数，所得结果，在春分后加上六十七度三十一分，在秋分后减去一百一十五度三十一分，就是所求日黄道去极度及分数。用黄道去极度与一象度相减，余数为赤道内或外度数。如果去极度小，则太阳在赤道内；如果去极度大，则太阳在赤道外。
求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定数，春分后加六千八百二十五，秋分后减一万七百二十五，余为所求日晨分；用减元法，余为昏分以昏明分加晨分，为日出分；减昏分，为日入分。
求每日晨昏分及日出日落分：用当天的消息定数，春分后加上六千八百二十五，秋分后减去一万零七百二十五，余数为所求日的晨分；用元法减去它，余数为昏分。用昏明分加上晨分，得到日出分；减去昏分，得到日入分。
求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，满七万四千七百四十二除为度，不满，退除为分，命曰距子度；用减半周天，余为距中度若倍距子度，五除之，即为每更差度及分若依司辰星漏历，则倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，余以五约之，即每更差度。
求每日距中距子度及每更差度：将当天的晨分乘以七百，满七万四千七百四十二相除得到度数，不满则退位得到分数，称为距子度；用半周天减去它，余数为距中度。如果将距子度加倍，再除以五，就是每更差度及分数。如果按照司辰星漏历，则将距子度加倍，减去待旦三十六度五十二分半，余数除以五，就是每更差度。
求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之为刻，不满为分，即所求日夜半定漏。
求每日夜半定漏：将当天的晨分用刻法相除得到刻数，不满则为分数，就是所求日夜半定漏。
求每日昼夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，为夜刻。用减一百刻，余为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，满辰法除之为辰数，不满，刻法除之为刻，又不满，为刻分命辰数从子正，算外，即日出辰刻；以昼刻加之，命如前，即日入辰刻若以。半辰刻加之，即命从辰初也。
求每日昼夜刻及日出日落辰刻：将夜半定漏加倍，加上五刻，得到夜刻。用一百刻减去它，余数为昼刻。用昏明刻加上夜半定漏，满辰法相除得到辰数，不满则用刻法相除得到刻数，再不满则为刻分，辰数从子正开始计算，算外就是日出辰刻；加上昼刻，按同样方法命名，就是日入辰刻。如果加上半辰刻，则从辰初开始命名。
求更点辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，为点差刻；五因之，为更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更点差刻累加之，满辰刻及分去之，各得更点所入辰刻及分。若同司辰星漏历者，倍夜半定漏，减去待旦一十刻，余依术求之，即同内中更点。
求更点辰刻：将夜半定漏加倍，除以二十五，得到点差刻；乘以五，得到更差刻。用昏明刻加上日入辰刻，就是甲夜辰刻；用更点差刻依次累加，满辰刻及分数则去掉，各得到更点所对应的辰刻及分数。如果与司辰星漏历相同，则将夜半定漏加倍，减去待旦十刻，余数按方法推算，就与内中更点相同。
求昏晓及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便为初更中星；以每更差度加而命之，即乙夜所格中星；累加之，得逐更中星所格宿次又倍距子度，加昏中星命之，即晓中星所格宿次，若同司辰星漏历中星，则倍距子度，减去待旦十刻之度三十六度五十二分半，余约之为五更，即同内中更点中星。
求黄昏、拂晓及五更的中星：将距中度加上当天黄昏后夜半的赤道日度并命名，就是当天黄昏中星所在的星宿位置，黄昏中星便作为初更中星；用每更差度加上并命名，就是乙夜的中星位置；依次累加，得到各更中星所在的星宿位置。再将距子度加倍，加上黄昏中星并命名，就是拂晓中星所在的星宿位置。如果与司辰星漏历的中星相同，则将距子度加倍，减去待旦十刻的度数三十六度五十二分半，余数平均分为五更，就与内中更点中星相同。
求九服距差曰：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷景同者，累冬至后至其日，为距差日；若地在岳台南，测夏至后与岳台晷景同者，累夏至后至其日，为距差日。
求九服距差日：各在所在地立表观测，如果地点在岳台北面，测量冬至后与岳台冬至日影相同的日期，累计从冬至后到该日的天数，就是距差日；如果地点在岳台南面，测量夏至后与岳台日影相同的日期，累计从夏至后到该日的天数，就是距差日。
求九服晷景：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为余日；以余日减一千九百三十七半，为泛差；依前术求之，以加岳台冬至晷景常数，为其地其日中晷常数。若冬至前后日多于距差日，乃减去距差日，余依前术求之，即得其地其日中晷常数若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为余日；乃三约之，以减四百八十五少，为泛差；依前术求之，以减岳台夏至晷景常数，即其地其日中晷常数。如夏至前后日数多于距差日，乃减岳台夏至常晷，余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即减去距差日，余依前术求之，各得其地其日中晷常数。若求定数，依立成以求午中晷景定数。
求九服日影：如果地点在岳台北面冬至前后，用冬至前后的天数减去距差日，得到余日；用余日减去一千九百三十七半，得到泛差；按前法推算，加上岳台冬至日影常数，就是该地当天正午日影常数。如果冬至前后天数多于距差日，则减去距差日，余数按前法推算，即得该地当天正午日影常数。如果地点在岳台南面夏至前后，用夏至前后的天数减去距差日，得到余日；再除以三，用四百八十五少减去它，得到泛差；按前法推算，减去岳台夏至日影常数，就是该地当天正午日影常数。如果夏至前后天数多于距差日，则减去岳台夏至常影，余数就是日影在表南。如果夏至前后天数多于距差日，则减去距差日，余数按前法推算，各得该地当天正午日影常数。如果求定数，则按立成表推算正午日影定数。
求九服所在昼夜漏刻：冬，夏二至各于所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相减，余为冬，夏至差刻置岳台其日消息定数，以其地二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十而一，所得，为其地其日消息定数。乃倍消息定数，满刻法约之为刻，不满为分，乃加减其地二至夜刻，秋分后，春分前，减冬至夜刻；春分后，秋分前，加夏至夜刻。
求九服所在昼夜漏刻：冬至和夏至各在所在地用水漏测量，以确定该地二至的夜刻，然后相减，余数为冬夏至差刻。将岳台当天的消息定数乘以该地二至差刻，再除以岳台二至差刻二十，所得结果就是该地当天的消息定数。然后将消息定数加倍，满刻法相除得到刻数，不满则为分数，再加减该地二至夜刻：秋分后、春分前，减去冬至夜刻；春分后、秋分前，加上夏至夜刻。
为其地其日夜刻；用减一百刻，余为昼刻。其日出入辰刻及距中度五更中星，并依前术求之。
得到该地当天的夜刻；用一百刻减去它，余数为昼刻。当天的日出日落辰刻以及距中度、五更中星，都按前法推算。
步月离术
推算月亮运行的方法
转度母：八千一百一十二万。
转度母：八千一百一十二万。
转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。
转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。
朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。
朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。
朔差：二十六度余三千三百七十六万七千，约余四千一百六十二半。
朔差：二十六度余三千三百七十六万七千，约余四千一百六十二半。
转法：一十亿八千四百四十七万三千。
转法：十亿八千四百四十七万三千。
会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。
会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。
转终：三百六十八度余三十八万二千二百五十一，约余三千七百八。
转终：三百六十八度余三十八万二千二百五十一，约余三千七百零八。
转终：二十七日余六亿一百四十七万一千二百五十一，约余五千五百四十六。
转终：二十七天余六亿一百四十七万一千二百五十一，约余五千五百四十六。
中度：一百八十四度余一千五百四万一千一百二十五半，约余一千八百五十四。
中度：一百八十四度余一千五百零四万一千一百二十五半，约余一千八百五十四。
象度：九十二度余七百五十二万五百六十二太，约分九百二十七。
象度：九十二度余七百五十二万零五百六十二太，约分九百二十七。
月平行：十三度余二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半。
月平行：十三度余二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半。
望差：一百九十七度余三千一百九十二万四千六百二十五半，约分三千九百三十四。
望差：一百九十七度余三千一百九十二万四千六百二十五半，约分三千九百三十四。
弦差：九十八度余五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七。
弦差：九十八度余五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七。
日衰：一十八，小分九。
日衰：十八，小分九。
求月行入转度：以朔差乘所求积月，满转终分去之，不尽为转余。满转度母除为度，不满为余，其余若以一万乘之，满转度母除之，即得约分；若以转法除转余，即为入转日及余。
求月亮运行进入转度：用朔差乘以所求的积月数，满转终分则去掉，余数为转余。满转度母相除得到度数，不满则为余数，如果余数乘以一万，满转度母相除，即得约分；如果用转法除转余，则得到入转日及余数。
即得所求月加时入转度及余。若以弦度及余累加之，即得上弦、望、下弦及后朔加时入转度及分；其度若满转终度及余去之。
即得到所求月加时入转度及余数。如果用弦度及余数依次累加，就得到上弦、望、下弦及后朔加时入转度及分数；如果度数满转终度及余数则去掉。
其入转度如在中度以下为月行在疾历；如在中度以上者，乃减去中度及余，为月入迟历。
如果入转度在中度以下，则月亮运行在疾历；如果在中度以上，则减去中度及余数，得到月亮进入迟历。
求月行迟疾差度及定差：。置所求月行入迟速度，如在象度以下为在初以上，覆减中度，余为在末其度余用约分百为母。
求月亮运行迟疾差度及定差：将所求月亮运行进入迟速度，如果在象度以下则为在初段，如果在以上，则用中度减去它，余数为在末段，其度余用约分以百为分母。
置初，末度于上，列二百一度九分于下，以上减下，余以下乘上，为积数；满一千九百七十六除为度，不满，退除为分，命曰迟疾差度。在疾为减，在迟为加。
将初段或末段的度数放在上面，下面列出二百一度九分，用上面的减去下面的，余数再乘以上面的，得到积数；满一千九百七十六相除得到度数，不满则退位得到分数，称为迟疾差度。在疾历中为减，在迟历中为加。
以一万乘积数，满六千七百七十三半除之，为迟疾定差。疾加，迟减，若用立成者，以其度下损益率乘度余，满转度母而一，所得，随其损益，即得迟疾及定差。其迟疾，初末损益分为二日者，各加其初，末以乘除。
用一万乘以积数，满六千七百七十三半相除，得到迟疾定差。疾历中加，迟历中减。如果使用立成表，则用该度下的损益率乘以度余，满转度母相除，所得结果随其损益，即得迟疾及定差。如果迟疾的初末损益分为两天，则各加其初段或末段进行乘除。
求朔弦望所直度下月行定分：置迟疾所入初，末度分，进一位，满七百三十九除之，用减一百二十七，余为衰差。乃以衰差疾初迟末减，迟初疾末加，皆加减平行度分，为其度所直月行定分。其度以百命为分。
求朔、弦、望所对应度数下的月行定分：将迟疾所进入的初段或末段度分，进一位，满七百三十九相除，再用一百二十七减去它，余数为衰差。然后用衰差在疾初迟末时减去，在迟初疾末时加上，都加减平行度分，得到该度数所对应的月行定分。其度数以百为单位作为分数。
求朔弦望定日：各以日躔盈缩，月行迟疾定差加减经朔、弦、望小余，满若不足，进退大余，命甲子，算外，各得定日日辰及余。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同月小，月内无中气者为闰月。凡注历，观定朔小余，秋分后四分之三已上者，进一日；若春分后，其定朔晨分差如春分之日者，三约之，以减四分之三；如定朔小余及此数已上者，进一日；朔或当交有食，初亏在日入已前者，其朔不进弦，望定小余不满日出分者，退一日；其望或当交有食，初亏在日出已前，其定望小余虽满日出分者，亦退之又月行九道迟疾，历有三大二小；日行盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也若。循其常，则当察加时早晚，随其所近而进退之，使月之大小不过连三。旧说，正月朔有交，必须消息前后一两月，移食在晦，二之日。且日食当朔，月食当望盖自然之理夫日之食，盖天之垂诫，警悟时政，若道化得中，则变咎为祥，国家务以至公理天下，不可私移晦朔，宜顺天诫。故《春秋传》书日食，乃纠正其朔，不可专移食于晦，二。其正月朔有交，一从近典，不可移避。
求朔、弦、望的定日：分别用太阳运行的盈缩差和月亮运行的迟疾定差，来加减经朔、弦、望的小余数。如果结果满或不足，就进退大余数，用甲子来命名，计算之外，各自得到定日的日辰和余数。如果定朔的干支名称与后一个朔的干支名称相同，这个月就是大月；不同就是小月；月内没有中气的就是闰月。凡是注历，观察定朔的小余数，如果在秋分后四分之三以上，就进一日；如果在春分后，其定朔的晨分差与春分那天相同，就除以三，用来减去四分之三；如果定朔的小余数达到这个数以上，就进一日。朔日如果正逢交食，初亏在日落之前，这个朔日就不进；弦、望的定小余不满日出分的，就退一日；望日如果正逢交食，初亏在日出之前，其定望的小余数即使满日出分，也要退一日。另外，月亮运行在九道上有迟疾，历法中有三大二小；太阳运行有盈缩，累积增减，就有四大三小，这是理数自然如此。如果遵循常规，就应当观察加时的早晚，根据其接近的情况来进退，使月的大小不超过连续三个。旧说，正月朔日有交食，必须斟酌前后一两个月，把食移到晦日或初二日。而且日食应当在朔日，月食应当在望日，这是自然之理。日食，是上天的垂示告诫，警醒时政，如果道德教化适中，就能变灾祸为吉祥。国家务必以至公之心治理天下，不可私自移动晦朔，应当顺应上天的告诫。所以《春秋传》记载日食，是用来纠正其朔日，不可专门把食移到晦日或初二日。其正月朔日有交食，一律遵从近来的典制，不可移动回避。
求定朔弦望加时日度：置朔，弦，望中日及约分，以日躔盈缩度及分盈加缩减之，又以元法退除迟疾定差，疾加迟减之，余为其朔，弦，望加时定日。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即所求朔，弦，望加时定日所在宿次。朔，望有交，则依后术。
求定朔、弦、望加时的日度：设置朔、弦、望的中日及约分，用太阳运行的盈缩度及分，盈加缩减，再用元法退除迟疾定差，疾加迟减，余数就是该朔、弦、望加时的定日。用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，就是所求朔、弦、望加时定日所在的宿次。朔、望有交食，就依照后面的方法。
求月行九道：凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。冬至，夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东立夏，立冬后，青道半交在立春之宿，当黄道东南；至所冲之宿亦如之。
求月亮运行的九道：凡是合朔时所交，冬天在阴历，夏天在阳历，月亮运行在青道。冬至、夏至之后，青道的半交点落在春分的星宿，正当黄道东面；立夏、立冬之后，青道的半交点落在立春的星宿，正当黄道东南；到其所冲的星宿也是如此。
冬在阳历，夏在阴历，月行白道冬至，夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西；立冬，立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北；至所冲之宿亦如之。
冬天在阳历，夏天在阴历，月亮运行在白道。冬至、夏至之后，白道的半交点落在秋分的星宿，正当黄道西面；立冬、立夏之后，白道的半交点落在立秋的星宿，正当黄道西北；到其所冲的星宿也是如此。
春在阳历，秋在阴历，月行朱道春分，秋分后，朱道交在夏至之宿，当黄道南；立春，立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南：至所冲之宿亦如之。
春天在阳历，秋天在阴历，月亮运行在朱道。春分、秋分之后，朱道的交点落在夏至的星宿，正当黄道南面；立春、立秋之后，朱道的半交点落在立夏的星宿，正当黄道西南；到其所冲的星宿也是如此。
春在阴历，秋在阳历，月行黑道春分，秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄道正北立春，立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北；至所冲之宿亦如之。
春天在阴历，秋天在阳历，月亮运行在黑道。春分、秋分之后，黑道的半交点落在冬至的星宿，正当黄道正北；立春、立秋之后，黑道的半交点落在立冬的星宿，正当黄道东北；到其所冲的星宿也是如此。
四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行九道。各视月所入正交积度，视正交九道宿度所入节候，即其道，其节所起。
四季分为八节，到阴阳相交之处，都与黄道相会合，所以月亮运行有九道。各自观察月亮所进入的正交积度，看正交九道宿度所进入的节候，就是其道，其节所起始的地方。
满象度及分去之余，入交积度及象度并在交会术中。
满象度及分后去掉余数，入交积度和象度都在交会术中有记载。
若在半象以下为在初限。以上，覆减象度及分，为在末限。用减一百一十一度三十七分，余以所入初，末限度及分乘之，退位，半之，满百为度，不满为分，所得为月行与黄道差数距半交后，正交前，以差数减；距正交后，半交前，以差数加。此加减出入六度，单与黄道相较之数，若较之赤道，随数迁变不常。
如果在半象以下，就是在初限。以上，则用象度及分减去余数，就是在末限。用一百一十一度三十七分减去余数，再用所入的初限或末限度及分相乘，退一位，取一半，满一百为度，不满为分，所得就是月亮运行与黄道的差数。距离半交之后、正交之前，用差数减；距离正交之后、半交之前，用差数加。这种加减出入六度，只是与黄道相比较的数值，如果与赤道比较，则随数值变化而不固定。
计去二至以来度数，乘黄道所差，九十而一，为月行与黄道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳故月。行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名；若入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名其在同名，以差数加者加之，减者减之；其在异名，以差数加者减之，减者加之皆加减黄道宿积度，为九道宿积度；以前宿九道宿积度减其宿九道宿积度，余为其宿九道宿度及分。其分就近约为太，半，少三数。
计算距离二至以来的度数，乘以黄道所差的数值，除以九十，得到月亮运行与黄道的差数。凡是太阳以赤道内为阴，赤道外为阳；月亮以黄道内为阴，黄道外为阳。所以月亮运行宿度，进入春分交点后运行在阴历，秋分交点后运行在阳历，都是同名；如果进入春分交点后运行在阳历，秋分交点后运行在阴历，都是异名。在同名的情况下，差数该加的加，该减的减；在异名的情况下，差数该加的减，该减的加。都用来加减黄道宿积度，得到九道宿积度；用前一宿的九道宿积度减去本宿的九道宿积度，余数就是本宿的九道宿度及分。其分就近约简为太、半、少三个数。
求月行九道入交度：置其朔加时定日度，以其朔交初度及分减之，余为其朔加时月行入交度及余。其余以一万乘之，以元法退除之，即为约余。
求月亮运行九道的入交度：设置该朔加时的定日度，用该朔的交初度及分减去它，余数就是该朔加时月亮运行的入交度及余数。其余数乘以一万，用元法退除，就是约余。
以天正冬至加时黄道日度加而命之，即正交月离所在黄道宿度。
用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，就是正交时月亮所在黄道宿度。
求正交加时月离九道宿度：以正交度及分减一百一十一度三十七分，余以正交度及分乘之，退一等，半之，满百为度，不满为分，所得，命曰定差。以定差加黄道宿度，计去冬，夏至以来度数，乘定差，九十而一，所得，依同异名加减之，满若不足，进退其度，命如前，即正交加时月离九道宿度及分。
求正交加时月亮在九道上的宿度：用正交度及分减去一百一十一度三十七分，余数乘以正交度及分，退一位，取一半，满一百为度，不满为分，所得称为定差。用定差加上黄道宿度，计算距离冬至、夏至以来的度数，乘以定差，除以九十，所得结果，依照同异名来加减，如果满或不足，就进退其度，命名如前，就是正交加时月亮在九道上的宿度及分。
求定朔弦望加时月离所在宿度：各置其日加时日躔所在，变从九道，循次相加凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。先置朔、弦、望加时黄道宿度，以正交加时黄道宿度减之，余以加其正交加时九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加时所当九道宿度。其合朔加时若非正近，则日在黄道，月在九道各入宿度，虽多少不同，考其去极，若应绳准。故云月行潜在日下，与太阳同度。
求定朔、弦、望加时月亮所在的宿度：分别设置该日加时太阳所在的位置，转换为九道，依次相加。凡是合朔加时，月亮运行隐藏在太阳之下，与太阳同度，这就是加时月亮所在的宿次。先设置朔、弦、望加时的黄道宿度，用正交加时的黄道宿度减去它，余数加上其正交加时的九道宿度，从正交宿次开始命名，计算之外，就是朔、弦、望加时所对应的九道宿度。其合朔加时如果不是正近，那么太阳在黄道，月亮在九道，各自进入宿度，虽然多少不同，考察其去极的距离，似乎符合绳准。所以说月亮运行隐藏在太阳之下，与太阳同度。
各以弦，望度及分加其所当九道宿度，满宿次去之，各得加时九道月离宿次。
分别用弦、望的度及分加上其所对应的九道宿度，满一个宿次就去掉，各自得到加时月亮在九道上的宿次。
求定朔夜半入转：以所求经朔小余减其朔加时入转日余，其经朔小余，以二万七千八百七乘之，即母转法。
求定朔夜半入转：用所求经朔的小余减去该朔加时入转的日余，其经朔的小余，乘以二万七千八百零七，就是母转法。
为其经朔夜半入转。若定朔大余有进退者，亦进退转日，无进退则因经为定。其余以转法退收之，即为约分。
这就是其经朔夜半入转。如果定朔的大余有进退，也相应地进退转日，没有进退就依据经朔来确定。其余数用转法退收，就是约分。
求次月定朔夜半入转：因定朔夜半入转，大月加二日，小月加一日，余，分皆加四千四百五十四，满转终日及约分去之，即次月定朔夜半入转；累加一日，去命如前，各得逐日夜半入转日及分。
求次月定朔夜半入转：依据定朔夜半入转，大月加二日，小月加一日，余数和分都加四千四百五十四，满转终日及约分就去掉，就是次月定朔夜半入转；逐日累加一日，去掉和命名如前，各自得到每日夜半入转的日及分。
求定朔弦望夜半月度：各置加时小余，若非朔，望有交者，有用定朔、弦、望小余。
求定朔、弦、望的夜半月度：分别设置加时的小余，如果不是朔、望有交食的情况，就使用定朔、弦、望的小余。
以其日月行定分乘之，满元法而一为度，不满，退除为分，命曰加时度。以减其日加时月度，即各得所求夜半月度。
用该日月行定分乘以它，满元法就得到一度，不满就退除为分，称为加时度。用它减去该日加时的月度，就各自得到所求的夜半月度。
求晨昏月：以晨分乘其日月行定分，元法而一，为晨度；用减月行定分，余为昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。
求晨月和昏月：用晨分乘以该日月行定分，除以元法，得到晨度；用月行定分减去它，余数为昏度。分别用晨度和昏度加上夜半月度，就是所求晨月和昏月所在的宿度。
求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程；以上弦昏定月减望昏定月，余为上弦后昏定程；以望晨定月减下弦晨定月，余为望后晨定程；以下弦晨定月减次朔晨定月，余为下弦后晨定程。
求朔、弦、望的晨昏定程：分别用该朔的昏定月减去上弦的昏定月，余数为朔后的昏定程；用上弦的昏定月减去望的昏定月，余数为上弦后的昏定程；用望的晨定月减去下弦的晨定月，余数为望后的晨定程；用下弦的晨定月减去次朔的晨定月，余数为下弦后的晨定程。
求转积度：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定程；乃自所入日计求定之，为其程转积度分其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃观其迟疾之极差而损益之，以百为分母。
求转积度：计算四七日的月行定分，用日衰来加减，得到每日的月行定程；然后从所入之日开始计算并确定，就是该程的转积度分。所谓四七日的月行定分，是指初日增加迟行一千二百一十，第七日逐渐变快一千三百四十一，第十四日减少快行一千四百六十一，第二十一日逐渐变慢一千三百二十八，于是观察其迟疾的极差来增减，以一百为分母。
求每日晨昏月：以转积度与晨昏定程相减，余以距后程日数除之，为日差定程多为加，定程少为减。
求每日的晨月和昏月：用转积度与晨昏定程相减，余数除以距离后程的日数，得到日差。定程多就加，定程少就减。
以加减每日月行定分，为每日转定度及分。以每日转定度及分加朔、弦、望晨昏月，满九道宿次去之，即为每日晨，昏月离所在宿度及分。凡注历，朔后注昏，望后注晨。
用日差来加减每日的月行定分，得到每日的转定度及分。用每日的转定度及分加上朔、弦、望的晨昏月，满九道宿次就去掉，就是每日晨月和昏月所在的宿度及分。凡是注历，朔日之后注昏月，望日之后注晨月。
已前月度，并依九道所推，以究算术之精微。若注历求其速要者，即依后术以推黄道月度。
以上所说的月度，都是依据九道推算的，以穷尽算术的精微。如果注历时追求快速简便，就依照后面的方法来推算黄道月度。
求天正十一月定朔夜半平行月：以天正经朔小余乘平行度分，元法而一为度，不满，退除为分秒，所得，为经朔加时度。用减其朔中日，即经朔晨前夜半平行月积度。若定朔有进退，以平行度分加减之。
求天正十一月定朔夜半的平行月：用天正经朔的小余乘以平行度分，除以元法得到度，不满就退除为分秒，所得就是经朔的加时度。用它减去该朔的中日，就是经朔晨前夜半的平行月积度。如果定朔有进退，就用平行度分来加减。
即为天正十一月定朔之日晨前夜半平行月积度及分。
这就是天正十一月定朔那天晨前夜半的平行月积度及分。
求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月积度及分秒。
求次月定朔那天的夜半平行月：设置天正定朔那天的夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天度分就去掉，就是每月定朔的晨前夜半平行月积度及分秒。
求定弦望夜半平行月、计弦、望距定朔日数，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月积度及分秒，即定弦，望之日夜半平行月积度及分秒。亦可直求朔望，不复求度，从简易也。
求定弦、望的夜半平行月：计算弦、望距离定朔的日数，乘以平行度及分秒，再加上其定朔夜半的平行月积度及分秒，就是定弦、望那天的夜半平行月积度及分秒。也可以直接求朔望，不再求度，这是为了简便。
求天正定朔夜半入转度：置天正经朔小余，以平行月度及分乘之，满元法除为度，不满，退除为分秒，命为加时度；以减天正十一月经朔加时入转度及约分，余为天正十一月经朔夜半入转度及分。若定朔大余有进退者，亦进退平行度分，即为天正十一月定朔之日晨前夜半入转度及分秒。
求天正定朔夜半的入转度：设置天正经朔的小余，用平行月度及分乘以它，满元法就除为度，不满就退除为分秒，称为加时度；用它减去天正十一月经朔加时的入转度及约分，余数为天正十一月经朔夜半的入转度及分。如果定朔的大余有进退，也相应地进退平行度分，就是天正十一月定朔那天晨前夜半的入转度及分秒。
求次月定朔及弦望夜半入转度：因天正十一月定朔夜半入转度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入转度及分。各以朔、弦、望相距日数乘平行度分以加之，满转终度及秒即去之，如在中度以下者为在疾；以上者去之，余为入迟历，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入转度及分若以平行月度及分收之，即为定朔、弦、望入转日。
求下一个月的定朔以及弦、望的夜半入转度：根据天正十一月定朔夜半入转的度数和分数，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，就分别得到下一个月定朔夜半入转的度数和分数。再分别用朔、弦、望之间的相距天数乘以平行度分并加上去，满一个转终的度数及秒就减去，如果数值在中度以下就属于疾行；如果在中度以上就减去它，剩余的就是入迟历，这样就分别得到下一个朔、弦、望定日晨前夜半入转的度数和分数。如果用平行月度和分数来收整，就是定朔、弦、望的入转日。
求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入转度分乘其度损益衰，以一万约之为分，百约之为秒，损益其度下迟疾度，为迟疾定度。乃以迟加疾减夜半平行月，为朔，弦，望夜半定月积度。以冬至加时黄道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月离所在。宿次若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得为晨昏度；以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。
求定朔、弦、望的夜半定月：用定朔、弦、望夜半入转的度数和分数乘以该度下的损益衰，除以一万得到分，除以一百得到秒，用来增减该度下的迟疾度，得到迟疾定度。然后用迟加、疾减夜半平行月，得到朔、弦、望夜半定月的积度。加上冬至加时的黄道日度并命名，就是定朔、弦、望夜半月所在的位置。宿次中如果有要求晨昏月，就用该日的晨昏分乘以该日月行定分，除以元法，所得就是晨昏度；加上该夜半定月，就得到朔、弦、望的晨昏月度。
求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相减，余为定程若求晨昏定程，则用晨昏定月相减，朔后用昏，望后用晨。
求朔、弦、望的定程：分别用朔、弦、望的定月相减，剩余的就是定程。如果要求晨昏定程，就用晨昏定月相减，朔后用昏时，望后用晨时。
求朔弦望转积度分：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定分；乃自所入日计之，为其程转积度分。其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃视其迟疾之极差而损益之，分以百为母。
求朔、弦、望的转积度分：计算四七日的月行定分，用日衰来加减，得到逐日的月行定分；然后从所入之日开始计算，就是该程的转积度分。所谓四七日的月行定分，是指初日增加迟行一千二百一十，第七日逐渐加快一千三百四十一，第十四日减少快行一千四百六十一，第二十一日逐渐减慢一千三百二十八，然后根据迟疾的极差来增减，分以一百为分母。
求每日月离宿次：。各以其朔、弦、望定程与转积度相减，余为程差以距后程日数除之，为日差定程多为益差，定程少为损差。
求每日月离宿次：分别用朔、弦、望的定程与转积度相减，剩余的是程差，用距离后程的天数来除它，得到日差。定程多就是益差，定程少就是损差。
以日差加减月行定分。为每日月行定分；以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月离宿次。如晨昏宿次，即得每日晨昏月度。
用日差来加减月行定分，得到每日的月行定分；用每日的月行定分累加定朔、弦、望夜半月所在的宿次，并命名，就是每日晨前夜半月离宿次。如果求晨昏宿次，就得到每日的晨昏月度。
步交会术
交会推算方法
交度母：六百二十四万。
交度母：六百二十四万。
周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。
周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。
朔差：九百九十万一千一百五十九。
朔差：九百九十万一千一百五十九。
朔差：一度，余三百六十六万一千一百五十九。
朔差：一度，余数三百六十六万一千一百五十九。
望差：空度，余四百九十五万五百七十九半。
望差：零度，余数四百九十五万五百七十九点五。
半周天：一百八十二度余三百九十二万二百二十三半，约分六千二百八十二。
半周天：一百八十二度，余数三百九十二万二百二十三点五，约分为六千二百八十二。
日食限：一千四百六十四。
日食限：一千四百六十四。
月食限：一千三百三十八。
月食限：一千三百三十八。
盈初限缩末限：六十度八十七分半。
盈初限缩末限：六十度八十七分半。
缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。
缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。
求交初度：置所求积月，以朔差乘之，满周天分去之，不尽，覆减周天分，满交度母除之为度，不满为余，即得所求月交初度及余；以半周天加之，满周天去之，余为交中度及余若以望差减之，即得其月望交初度及余；以朔差减之，即得次月交初度及余；以交度母退除，即得余分若以天正黄道日度加而命之，即各得交初，中所在宿度及分。
求交初度：设置所求的积月，用朔差乘以它，满周天分就减去，不够减就反过来用周天分减去它，再满交度母就除以它得到度数，不够的就是余数，这样就得到所求月的交初度及余数；加上半周天，满周天就减去，余数就是交中度及余数。如果用望差减去它，就得到该月望日的交初度及余数；用朔差减去它，就得到下个月的交初度及余数；用交度母退除，就得到余分。如果用天正黄道日度加上并命名，就分别得到交初、交中所在的宿度及分数。
求日月食甚小余及加时辰刻：以其朔，望月行迟疾定差疾加迟减经朔望小余，若不足减者，退大余一，加元法以减之；若加之满元法者，但积其数。
求日月食甚的小余及加时辰刻：用该朔、望的月行迟疾定差，疾行就加、迟行就减经朔望的小余，如果不够减，就退大余一，加上元法再减；如果加后满元法，就只积累其数。
以一千三百三十七乘之，满其度所直月行定分除之，为月行差数；乃以日躔盈定差盈加缩减之，余为其朔，望食甚小余。凡加减满若不足，进退其日，此朔望加时以究月行迟疾之数，若非有交会，直以经定小余为定。
用一千三百三十七乘以它，满该度所对应的月行定分就除以它，得到月行差数；然后用日躔盈定差，盈加缩减，余数就是该朔、望的食甚小余。凡是加减满或不足，就进退其日，这是朔望加时用来探究月行迟疾的数，如果没有交会，就直接用经定小余作为定数。
置之，如前发敛加时术入之，即各得日，月食甚所在晨刻视食甚小余，如半法以下者，覆减半法，余为午前分；半法已上者，减去半法，余为午后分。
放置它，按照前面发敛加时的方法代入，就分别得到日、月食甚所在的晨刻。看食甚小余，如果小于半法，就用半法减去它，余数是午前分；如果大于半法，就减去半法，余数是午后分。
求朔望加时日月度：以其朔，望加时小余与经朔望小余相减，余以元法退收之，以加减其朔，望中日及约分，经朔望少，加；经朔望多，减。
求朔望加时的日月度：用该朔、望的加时小余与经朔望小余相减，余数用元法退收，用来加减该朔、望的中日及约分，经朔望小就加，经朔望大就减。
为其朔，望加时中日乃以所入日升降分乘所入日约分，以一万约之，所得，随以损益其日下盈缩积，为盈缩定度；以盈加缩减加时中日，为其朔，望加时定日；望则更加半周天，为加时定月；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求朔，望加时日月所在宿度及分。
作为该朔、望的加时中日，然后用所入日的升降分乘以所入日的约分，除以一万，所得的结果，随即用来增减该日下的盈缩积，得到盈缩定度；用盈加缩减加时中日，得到该朔、望的加时定日；望日就再加半周天，得到加时定月；用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，就得到所求朔、望加时日月所在的宿度及分数。
求朔望日月加时去交度分：置朔望日月加时定度与交初，交中度相减，余为去交度分就近者相减之，其度以百通之为分。
求朔望日月加时的去交度分：设置朔望日月的加时定度与交初、交中度相减，余数就是去交度分，取就近的相减，其度数用一百通成分为分。
加时度多为后，少为前，即得其朔望去交前，后分交初后，交中前，为月行外道阳历；交中后，交初前，为月行内道阴历。
加时度大就是后，小就是前，这样就得到该朔望的去交前、后分。交初后、交中前，是月行外道阳历；交中后、交初前，是月行内道阴历。
求日食四正食差定数：置其朔加时定日，如半周天以下者为在盈。以上者去之，余为在缩视之，如在初限以下者为在初以上。者，覆减二至限，余为在末，置初，末限度及分，盈初限，缩末限者倍之。
求日食四正食差定数：设置该朔的加时定日，如果小于半周天就属于盈。如果大于半周天就减去它，余数属于缩，看它，如果在初限以下就属于初以上。如果大于初限，就反过来用二至限减去它，余数属于末，设置初、末的限度及分数，盈初限、缩末限的就加倍。
置于上位，列二百四十三度半于下，以上减下，余以下乘上，以一百六乘之，满三千九十三除之，为东西食差泛数。用减五百八，余为南北食差泛数。其求南北食差定数者，乃视午前，后分，如四分法之一以下者覆减之，余以乘泛数。若以上者即去之，余以乘泛数，皆满九千七百五十除之，为南北食差定数盈初缩末限者，食甚在卯酉以南，内减外加；食甚在卯酉以北，内加外减。
放在上位，下面列出二百四十三度半，用上面的减去下面的，余数用下面的乘以上面的，再用一百六乘以它，满三千九十三就除以它，得到东西食差泛数。用五百八减去它，余数是南北食差泛数。求南北食差定数的方法，是看午前、午后分，如果小于四分法之一就反过来减去它，余数乘以泛数。如果大于四分法之一就减去它，余数乘以泛数，都满九千七百五十就除以它，得到南北食差定数。盈初缩末限时，食甚在卯酉以南，内减外加；食甚在卯酉以北，内加外减。
缩初盈末限者，食甚在卯酉以南，内加外减；食甚在卯酉以北，内减外加。
缩初盈末限时，食甚在卯酉以南，内加外减；食甚在卯酉以北，内减外加。
其求东西食差定数者，乃视午前，后分，如四分法之一以下者以乘泛数；以上者，覆减半法，余乘泛数，皆满九千七百五十除之前，为东西食差定数。盈初缩末限者，食甚在子午以东，内减外加；食甚在子午以西，内加外减。外减；食甚在子午以西，内减外加。
求东西食差定数的方法，是看午前、午后分，如果小于四分法之一就乘以泛数；如果大于四分法之一，就反过来用半法减去它，余数乘以泛数，都满九千七百五十就除以它，得到东西食差定数。盈初缩末限时，食甚在子午以东，内减外加；食甚在子午以西，内加外减。外减；食甚在子午以西，内减外加。
即得其朔四正食差加减定数。
这样就得到该朔四正食差的加减定数。
求日月食去交定分：视其朔四正食差，加减定数，同名相从，异名相消，余为食差加减总数；以加减去交分，余为日食去交定分其去交定分不足减，乃覆减食差总数，若阳历覆减入阴历，为入食限；若阴历覆减入阳历，为不入食限凡加之满食限以上者，亦不入食限。
求日月食的去交定分：看该朔四正食差的加减定数，同名就相加，异名就相减，余数是食差加减总数；用它来加减去交分，余数是日食去交定分。如果去交定分不够减，就反过来用食差总数减去它，如果阳历反过来减入阴历，就属于入食限；如果阴历反过来减入阳历，就属于不入食限。凡是加上后满食限以上的，也不入食限。
其望食者，以其望去交分便为其望月食去交定分。
对于望日的月食，就用该望日的去交分作为其望月食的去交定分。
求日月食分：日食者，视去交定分，如食限三之一以下者倍之，类同阳历食分。以上者，覆减食限，余为阴历食分皆进一位，满九百七十六除为大分，不满，退除为小分，命十为限，即日食之大，小分。月食者，视去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆减食限余进一位，满八百九十二除之为大分，不满，退除为小分，命十为限，即月食之大，小分其食不满大分者，虽交而数浅，或不见食也。
求日月食的食分：日食时，看去交定分，如果小于食限的三分之一就加倍，类似阳历食分。如果大于食限的三分之一，就反过来用食限减去它，余数是阴历食分，都进一位，满九百七十六就除以它得到大分，不够就退除得到小分，以十为限，就是日食的大、小分。月食时，看去交定分，如果小于食限的三分之一，就是食既；如果大于食限的三分之一，就反过来用食限减去它，余数进一位，满八百九十二就除以它得到大分，不够就退除得到小分，以十为限，就是月食的大、小分。如果食分不满大分，虽然交会但数值浅，可能看不到食。
求日食泛用刻分：置阴、阳历食分于上，列一千九百五十二于下，以上减下，余以乘上，满二百七十一除之，为日食泛用刻、分。
求日食的泛用刻分：把阴、阳历的食分放在上面，下面列出一千九百五十二，用上面的减去下面的，余数乘以上面的，满二百七十一就除以它，得到日食的泛用刻、分。
求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以减三千九百，交中以减三千三百一十五，余为月食泛用刻、分。
求月食的泛用刻分：设置去交定分，自乘，交初用四百五十九除，交中用五百四十除，所得的结果，交初用三千九百减去它，交中用三千三百一十五减去它，余数是月食的泛用刻、分。
求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得为日月食定用刻、分。
求日月食的定用刻分：设置日月食的泛用刻、分，用一千三百三十七乘以它，用所对应度下的月行定分除以它，所得就是日月食的定用刻、分。
求日月食亏初复满时刻：以定用刻分减食甚小余，为亏初小余；加食甚，为复满小余；各满辰法为辰数，不尽，满刻法除之为刻数，不满为分。命辰数从子正，算外，即得亏初、复末辰、刻及分。若以半辰数加之，即命从时初也。
求日月食亏初和复满的时刻：用定用刻分减去食甚小余，得到亏初小余；加上食甚，得到复满小余；各自满辰法就是辰数，不够，满刻法就除以它得到刻数，不够就是分。辰数从子正开始命名，算外，就得到亏初、复末的辰、刻及分。如果加上半辰数，就从时初开始命名。
求日月食初亏复满方位：其日食在阳历者，初食西南，甚于正南，复于东南；日在阴历者，初食西北，甚于正北，复于东北其食过八分者，皆初食正西，复于正东其月食者，月在阴历，初食东南，甚于正南，复于西南；月在阳历，初食东北，甚于正北，复于西北。其食八分已上者，皆初食正东，复于正西。此皆审其食甚所向，据午正而论之，其食余方察其斜正，则初亏，复满乃可知矣。
求日月食初亏和复满的方位：日食在阳历时，初亏在西南，食甚在正南，复圆在东南；日在阴历时，初亏在西北，食甚在正北，复圆在东北。如果食分超过八分，都是初亏在正西，复圆在正东。月食时，月在阴历，初亏在东南，食甚在正南，复圆在西南；月在阳历，初亏在东北，食甚在正北，复圆在西北。如果食分在八分以上，都是初亏在正东，复圆在正西。这些都是仔细考察食甚的方向，根据午正来论述，其他方向观察其斜正，那么初亏、复满就可以知道了。
求月食更点定法：倍其望晨分，五而一，为更法；又五而一，为点法若依司辰星注历，同内中更点，则倍晨分，减去待旦十刻之分，余，五而一，为更法；又五而一，为点法。
求月食的更点定法：加倍该望日的晨分，五等分取一份，就是更法；再五等分取一份，就是点法。如果依照司辰星注历，与内中更点相同，就加倍晨分，减去待旦十刻的分，余数五等分取一份，就是更法；再五等分取一份，就是点法。
求月食入更点：各置初亏，食甚，复满小余，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更，点。
求月食入更点：分别设置初亏、食甚、复满的小余，如果小于晨分就加上晨分，如果大于昏分就减去昏分，余数用更法除得到更数，不够，用点法除得到点数。更数从初更开始命名，算外，就分别得到所入的更、点。
求月食既内外刻分：置月食去交分，覆减食限三之一，不及减者为食不既。余列于上位；乃列三之二于下，以上减下，余下下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，满泛用刻分除之，为月食既内刻分；用减定用刻分，余为既外刻，分。
计算月全食的内外刻分：将月食距离交点的分数，减去食限的三分之一，如果不够减，则说明不是全食。将剩余的数放在上面；再将三分之二放在下面，用上面的数减去下面的数，将余数乘以上面的数，除以一百七十，得到的结果乘以定用刻分，再除以泛用刻分，得到月全食的内刻分；用定用刻分减去这个数，剩余的就是外刻分。
求日月带食出入所见分数：视食甚小余在日出分以下者，为月见食甚，日不见食甚；以日出分减复满小余，若食甚小余在日出分已上者，为日见食甚，月不见食甚；以初亏小余减日出分，各为带食差；若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所食分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。
计算日月带食出入时可见的分数：如果食甚的小余在日出分以下，则是月亮可见食甚，太阳不可见食甚；用日出分减去复满的小余；如果食甚的小余在日出分以上，则是太阳可见食甚，月亮不可见食甚；用初亏的小余减去日出分，各自得到带食差；如果是月全食，用既内刻分减去带食差，剩余的数乘以所食的分数，再除以既外刻分，如果不够减，则说明是带全食出入。
以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食出，月带食入所见之分。凡亏初小余多如日出分为在昼，复满小余多如日出分为在夜，不带食出入也。
用这个结果乘以所食的分数，再除以定用刻分，就分别得到太阳带食出、月亮带食入时可见的分数。凡是初亏的小余大于日出分，则属于白天；复满的小余大于日出分，则属于夜晚，这种情况不带食出入。
若食甚小余在日入分以下者，为日见食甚，月不见食甚；以日入分减复满小余，若食甚小余在日入分已上者，为月见食甚，日不见食甚；以初亏小余减日入分，各为带食差；若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所差分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。
如果食甚的小余在日入分以下，则是太阳可见食甚，月亮不可见食甚；用日入分减去复满的小余；如果食甚的小余在日入分以上，则是月亮可见食甚，太阳不可见食甚；用初亏的小余减去日入分，各自得到带食差；如果是月全食，用既内刻分减去带食差，剩余的数乘以所差的分数，再除以既外刻分，如果不够减，则说明是带全食出入。
以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食入，月带食出所见之分。凡亏初小余多如日入分为在夜，复满小余少如日入分为在昼，并不带食出入也。
用这个结果乘以所食的分数，再除以定用刻分，就分别得到太阳带食入、月亮带食出时可见的分数。凡是初亏的小余大于日入分，则属于夜晚；复满的小余小于日入分，则属于白天，这两种情况都不带食出入。
步五星术
推算五星的方法
木星终率：一千五百五十五万六千五百四。
木星的终率：一千五百五十五万六千五百零四。
终曰：三百九十八日余三万四千五百四，约分八千八百四十七。
终日的数值：三百九十八天余三万四千五百零四，约分为八千八百四十七。
历差：六万一千七百五十。
历差：六万一千七百五十。
见伏常度：一十四度。
见伏常度：十四度。
火星终率：三千四十一万七千五百三十六。
火星的终率：三千零四十一万七千五百三十六。
终曰：七百七十九日余三万六千五百三十六，约分九千三百六十八。
终日的数值：七百七十九天余三万六千五百三十六，约分为九千三百六十八。
历差：六万一千二百四十。
历差：六万一千二百四十。
见伏常度：一十八度。
见伏常度：十八度。
土星终率：一千四百七十四万五千四百四十六。
土星的终率：一千四百七十四万五千四百四十六。
终曰：三百七十八余三千四百四十六，约分八百八十三。
终日的数值：三百七十八天余三千四百四十六，约分为八百八十三。
历差：六万一千三百五十。
历差：六万一千三百五十。
见伏常度：一十八度半。
见伏常度：十八度半。
金星终率：二千二百七十七万二千一百九十六。
金星的终率：二千二百七十七万二千一百九十六。
终曰：五百八十三日余三万五千一百九十六，约分九千二十四。
终日的数值：五百八十三天余三万五千一百九十六，约分为九千零二十四。
见伏常度：一十一度少。
见伏常度：十一度少。
水星终率：四百五十一万九千一百八十四改九千一百九十四。
水星的终率：四百五十一万九千一百八十四，改为九千一百九十四。
终曰：一百一十五日余三万四千一百八十四，约分八千七百六十五。
终日的数值：一百一十五天余三万四千一百八十四，约分为八千七百六十五。
见伏常度：一十八度。
见伏常度：十八度。
求五星天正冬至后诸段中积中星：置气积分，各以其星终率去之，不尽，覆减终率，余满元法为日，不满，退除为分，即天正冬至后其星平合中积。重列之为中星，因命为前一段之初，以诸段变日，变度累加减之，即为诸段中星，变日加减中积，变度加减中星。
计算五星在天正冬至后各段的中积和中星：将气积分，分别用各星的终率去除，余数不够除时，再用终率减去余数，剩余的数满元法即为日数，不满则退位为分数，这就是天正冬至后该星平合的中积。重新排列作为中星，并命名为前一段的起始，用各段的变日和变度依次加减，就得到各段的中星；变日用于加减中积，变度用于加减中星。
求木火土三星入历：以其星历差乘积年，满周天分去之，不尽，以度母除之为度，不满，退除为分，命曰差度；以减其星平合中星，即为平合入历度分；以其星其段历度加之，满周天度分即去之，各得其星其段入历度分金，水附日而行，更不求历差。其木，火，土三星前变为晨，后变为夕。金，水二星前变为夕，后变为晨。
计算木、火、土三星入历：用该星的历差乘以积年，满周天分则去掉，余数用度母除得到度数，不满则退位为分数，称为差度；用它减去该星平合的中星，得到平合入历的度分；加上该星该段的历度，满周天度分则去掉，就得到各星各段入历的度分。金星和水星依附太阳运行，不需要计算历差。木、火、土三星前变时为晨见，后变时为夕见；金、水二星前变时为夕见，后变时为晨见。
求木火土三星诸段盈缩定差：木，土二星，置其星其段入历度分，如半周天以下者为在盈以上者，减去半周天，余为在缩置。盈缩度分，如在一象以下者为在初限。以上者，覆减半周天，余为在末限。置初，末限度及分于上，列半周天于下，以上减下，以下乘上，木进一位，土九因之。
计算木、火、土三星各段的盈缩定差：对于木星和土星，将该星该段入历的度分，如果小于半周天则属于盈，大于半周天则减去半周天，余数属于缩。盈缩的度分，如果小于一象则属于初限，大于一象则减去半周天，余数属于末限。将初限或末限的度分放在上面，半周天放在下面，用上面的数减去下面的数，再用下面的数乘以上面的数；木星再进一位，土星则乘以九。
皆满百为分，分满百为度，命曰盈缩定差。其火星，置盈缩度分，如在初限以下者为在初。以上者，覆减半周天，余为在末。以四十五度六十五分半为盈初，缩末限度，以一百三十六度九十六分半为缩初，盈末限度分。
全部满百即为分数，分数满百即为度数，称为盈缩定差。对于火星，将盈缩度分，如果小于初限则属于初限，大于初限则减去半周天，余数属于末限。以四十五度六十五分半作为盈初和缩末的限度，以一百三十六度九十六分半作为缩初和盈末的限度分。
置初，末限度于上，盈初，缩末三因之。
将初限或末限的度数放在上面，盈初和缩末的度数乘以三。
列二百七十三度九十三分于下，以上减下，余以下乘上，以一十二乘之，满百为度，不满，百约为分，命曰盈缩定差若。用立成法，以其度下损益率乘度下约分，满百者，以损益其度下盈缩差度为盈缩定差，若在留退段者，即在盈缩泛差。
将二百七十三度九十三分放在下面，用上面的数减去下面的数，余数用下面的数乘以上面的数，再乘以十二，满百即为度数，不满则用百约分为分数，称为盈缩定差。如果使用立成法，用该度下的损益率乘以该度下的约分，满百则用其损益该度下的盈缩差度，得到盈缩定差；如果是在留退段，则属于盈缩泛差。
求木火土三星留退差：置后退，后留盈缩泛差，各列其星盈缩极度于下，木极度，八度三十三分；火极度，二十二度五十一分；土极度，七度五十分。
计算木、火、土三星的留退差：将后退和后留的盈缩泛差，分别列出该星的盈缩极度放在下面；木星的极度为八度三十三分；火星的极度为二十二度五十一分；土星的极度为七度五十分。
以上减下，余以下乘上，水，土三因之，火倍之。
用上面的数减去下面的数，余数用下面的数乘以上面的数；水星和土星乘以三，火星乘以二。
皆满百为度，命曰留退差。后退初半之，后留全用。
全部满百即为度数，称为留退差。后退初段取一半，后留段则全用。
其留退差，在盈益减损加，在缩损减益加其段盈缩泛差，为后退，后留定差。因为后迟初段定差，各须类会前留定差，观其盈缩，察其降差也。
这个留退差，在盈时增加则减、减少则加，在缩时减少则减、增加则加该段的盈缩泛差，得到后退和后留的定差。由此作为后迟初段的定差，各段需要类比前留的定差，观察其盈缩情况，考察其降差。
求五星诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其星其段定积及分；以天正冬至大余及约分加之，满纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得日辰其五星合见，伏，即为推算段定日；后求见，伏合定日，即历注其日。
计算五星各段的定积：分别将该星该段的中积，用该段的盈缩定差在盈时加、缩时减，得到该星该段的定积及分数；加上天正冬至的大余及约分，满纪法则去掉，余数从甲子开始推算，算外即得到日辰；五星的合、见、伏，就是推算各段的定日；之后求见、伏、合的定日，就是历法中注明的日期。
求五星诸段所在月曰：各置诸段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及分去之，为月数；不满，为入月以来日数及分其月数命从天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分。定朔有进退者，亦进退其日，以日辰为定。若以气策及约分去定积，命从冬至，算外，即得其段入气日及分。
计算五星各段所在的月份和日期：分别将各段的定积，加上天正闰日及约分，满朔策及分数则去掉，得到月数；不满则为入月以来的日数及分数；月数从天正十一月开始推算，算外即得到该星该段入该月经朔的日数及分数。如果定朔有进退，则相应调整日期，以日辰为准。如果用气策及约分去除定积，从冬至开始推算，算外即得到该段入气的日期及分数。
求五星诸段加时定星：各置其星其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，即五星诸段定星若以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其段加时定星所在宿次，五星皆以前留为前退初定星，后留为后顺初定星。
计算五星各段加时的定星：分别将该星该段的中星，用该段的盈缩定差在盈时加、缩时减，得到五星各段的定星；如果用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，就得到该段加时定星所在的宿次；五星都以前留作为前退初的定星，后留作为后顺初的定星。
求五星诸段初日晨前夜半定星：木，火，土三星，以其星其段盈缩定差与次度下盈缩定差相减，余为其度损益差；以乘其段初行率，一百约之，所得，以加减其段初行率，在盈，益加损减；在缩，益减损加。
计算五星各段初日晨前夜半的定星：对于木、火、土三星，用该星该段的盈缩定差与次度下的盈缩定差相减，余数作为该度的损益差；用它乘以该段的初行率，除以一百，得到的结果用于加减该段的初行率；在盈时，增加则加、减少则减；在缩时，增加则减、减少则加。
以一百乘之，为初行积分；又置一百分，亦依其数加减之，以除初行积分，为初日定行分以乘其段初日约分，以一百约之，顺减退加其段定星，为其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求金，水二星，直以初行率便为初日定行分。
用一百乘以这个结果，得到初行积分；再设置一百分，也按照同样的数进行加减，用来除初行积分，得到初日定行分；用它乘以该段初日的约分，除以一百，顺行则减、退行则加该段的定星，得到该段初日晨前夜半的定星；用天正冬至加时的黄道日度加上并命名，即得到所求。对于金星和水星，直接以初行率作为初日定行分。
求太阳盈缩度：各置其段定积，如二至限以下为在盈；以上者去之，余为在缩又视入盈缩度，如一象以下者为在初；以上者，覆减二至限，余为在末。置初，末限度及分，如前日度术求之，即得所求。若用立成者，直以其度下损益分乘度余，百约之，所得，损益其度下盈缩差，亦得所求。
计算太阳的盈缩度：分别将各段的定积，如果小于二至限则属于盈；大于二至限则去掉，余数属于缩。再观察入盈缩度，如果小于一象则属于初限；大于一象则减去二至限，余数属于末限。将初限或末限的度分，按照前面日度的方法计算，即得到所求。如果使用立成法，直接以该度下的损益分乘以度余，除以一百，得到的结果用于损益该度下的盈缩差，也能得到所求。
求诸段日度率：以二段日晨相距为日率，又以二段夜半定星相减，余为其段度率及分。
计算各段的日度率：用两段日晨相距的天数作为日率，再用两段夜半定星相减，余数作为该段的度率及分数。
求诸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，为其段平行分。
计算各段的平行分：分别将该段的度率及分数，用该段的日率去除，得到该段的平行分。
求诸段泛差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差；并前段泛差，四因之，退一等，为其段总差五星前留前，后留后一段，皆以六因平行分，退一等，为其段总差，水星为半总差。其在退行者，木，火，土以十二乘其段平行分，退一等，为其段总差。金星退行者，以其段泛差为总差，后变则反用初，末。水星退行者，以其段平行分为总差，若在前后顺第一段者，乃半次段总差，为其段总差。
计算各段的泛差：分别用该段的平行分与后段的平行分相减，余数为泛差；加上前段的泛差，乘以四，退一位，得到该段的总差。五星前留前、后留后的一段，都用六乘以平行分，退一位，得到该段的总差；水星则为半总差。在退行时，木、火、土星用十二乘以该段的平行分，退一位，得到该段的总差。金星退行时，用该段的泛差作为总差；后变则反过来用初、末。水星退行时，用该段的平行分作为总差；如果在前后顺行的第一段，则取次段总差的一半，作为该段的总差。
求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，为其段初，末日行分前变加为初，减为末；后变减为初，加为末。其在退段者，前则减为初，加为末；后则加为初，减为末若前后段行分多少不伦者，乃平注之；或总差不备大分者，亦平注之：皆类会前后初，末，不可失其衰杀。
计算各段的初日和末日行分：分别取该段总差的一半，加减该段的平行分，得到该段初日和末日的行分。前变时加为初、减为末；后变时减为初、加为末。在退行段时，前变则减为初、加为末；后变则加为初、减为末。如果前后段的行分多少不协调，则取平均值；或者总差不够大分时，也取平均值。都要类比前后段的初、末值，不能失去其递减或递增的趋势。
求诸段日差：减其段日率一，以除其段总差，为其段日差后行分少为损，后行分多为益。
计算各段的日差：将该段的日率减一，用来除该段的总差，得到该段的日差。后行分少则为损，后行分多则为益。
求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累损益之，为每日行分以每日行分累加减其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。
计算每日晨前夜半的星行宿次：将该段初日的行分，用日差依次增减，得到每日的行分；用每日的行分依次加减该段初日晨前夜半的宿次，并命名，即得到每日星行的宿次。
径求其日宿次：置所求日，减一，以乘日差，以加减初日行分，后少，减之；后多，加之。
直接求某日的宿次：将所求日减一，乘以日差，用来加减初日的行分；后行分少则减，后行分多则加。
为所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日数乘之，为径求积度；以加减其段初日宿次，命之，即径求其日星宿次。
得到所求日的行分；然后加上初日的行分并取一半，乘以所求日的天数，得到直接求出的积度；用它加减该段初日的宿次，并命名，即直接求出该日的星宿次。
求五星定合定曰：木，火，土三星，以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以差日及分减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日，差度盈减缩加。金，水二星平合者，以百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日，差度盈加缩减。金，水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰再合差日；以减太阳盈缩分，余为再合差度。以差日，差度盈加缩减。差度则反其加减。
求五星定合定日的方法：对于木星、火星、土星这三颗星，用它们所在段的初日行分减去一百分，用余数去除当天的太阳盈缩余数，得到天数，不足一天时退位为分，称为距合差日及分。用这个差日及分减去太阳盈缩分，余数为距合差度。根据差日和差度，盈时减、缩时加。对于金星和水星平合的情况，用一百分减去初日行分，用余数去除当天的太阳盈缩余数，得到天数，不足一天时退位为分，称为距合差日及分。用这个数减去太阳盈缩分，余数为距合差度。根据差日和差度，盈时加、缩时减。对于金星和水星再次相合的情况，用初日行分加上一百分，用这个和去除当天的太阳盈缩分，得到天数，不足一天时退位为分，称为再合差日；用这个数减去太阳盈缩分，余数为再合差度。根据差日和差度，盈时加、缩时减。差度则反过来加减。
皆以加减定积，为再合定日。以天正冬至大余及约分加而命之，即得定合日辰。
都用加减法调整定积，得到再合定日。用天正冬至的大余和约分相加并命名，就能得到定合的具体日辰。
求五星定见伏：木，火，土三星，各以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加金，水二星夕见，晨伏者，以一百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈加缩减。其在晨见，夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。皆加减其段定积，为见，伏定日。以加冬至大余及约分，满纪法去之，命从甲子，算外，即得五星见，伏定日日辰。
求五星定见伏的方法：对于木星、火星、土星这三颗星，各自用它们所在段的初日行分减去一百分，用余数去除当天的太阳盈缩分，得到天数，不足一天时退位为分，盈时减、缩时加。对于金星和水星在傍晚出现、早晨隐伏的情况，用一百分减去初日行分，用余数去除当天的太阳盈缩分，得到天数，不足一天时退位为分，盈时加、缩时减。对于它们在早晨出现、傍晚隐伏的情况，用一百分加上该段的初日行分，用这个和去除当天的太阳盈缩分，得到天数，不足一天时退位为分，盈时减、缩时加。都用加减法调整该段的定积，得到出现和隐伏的定日。用这个数加上冬至的大余和约分，满纪法时去掉，从甲子开始推算，就能得到五星出现和隐伏的具体日辰。
琮又论历曰：「古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也若一行为《大衍历》，议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差。旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有余，夏至前后日行不及一度。
刘琮又评论历法说：“古今的历法，必须有超过前人的方法，并且能成为万世遵循的法则，才算优秀。比如一行和尚的《大衍历》，其议论和略例，校正历代历法，以探求历法的强弱，成为历家的纲要，得到了中正平和的数值。刘焯领悟到太阳运行有盈缩的差异。旧历推算太阳每天运行一度，到这时才明白太阳运行有盈缩，冬至前后定日为八十八日八十九分，夏至前后定日为九十三日七十四分，冬至前后太阳每天运行一度有余，夏至前后太阳每天运行不到一度。
李淳风悟定朔之法，并气朔，闰余，皆同一术。旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈缩，月行迟疾加减朔余，余为定朔，望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食在望，更无晦，二之差。旧历皆须用章岁，章月之数，使闰余有差，淳风造《麟德历》，以气朔，闰余同归一母。
李淳风领悟了定朔的方法，并将节气、朔望和闰余都用同一方法处理。旧历定朔时平注一大一小，到这时用太阳运行的盈缩和月亮运行的迟疾来加减朔余，余数就是定朔，望日加时，以此确定大小，不超过三个数。从此以后，日食发生在朔日，月食发生在望日，不再有晦日或二日的误差。旧历都必须用章岁、章月的数字，导致闰余有误差，李淳风造《麟德历》，将气朔和闰余统一归到同一个分母。
张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十余年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交道表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩，加减之数。
张子信领悟到月亮运行有交道的表里之分，五星有进入节气时的加减。北齐学士张子信因葛荣之乱，隐居海岛三十多年，专门用圆仪观测天道，才领悟到月亮运行有交道的表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月亮运行在内道时，就会发生日食，月亮运行在外道时则没有日食。如果月亮外面的人面向北户朝向太阳的地方，反而会观察到日食。另外，旧历中五星大致没有盈缩，到这时才领悟到五星都有盈缩，需要加减数值。
宋何承天始悟测景以定气序景极长，冬至；景极短，夏至始立八尺之表，连测十余年，即知旧《景初历》冬至常迟天三日。乃造《元嘉历》，冬至加时比旧退减三日。
南朝宋的何承天开始领悟到通过测量日影来确定节气顺序：日影最长时是冬至，日影最短时是夏至。他首次竖立八尺高的表，连续测量十多年，就知道旧的《景初历》冬至经常比实际晚三天。于是造《元嘉历》，冬至的加时比旧历退减了三天。
晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，为日所在宿度。
晋朝的姜岌开始领悟到用月食时月亮所冲的星宿，作为太阳所在的度数。太阳所在的星宿度数原本不知道，到这时用月食时月亮所冲的星宿，作为太阳所在的星宿度数。
后汉刘洪作《乾象历》，始悟月行有迟疾数。旧历，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有余。
后汉的刘洪作《乾象历》，开始领悟到月亮运行有迟疾的数值。旧历中，月亮每天平行十三度又十九分之七度，到这时才领悟到月亮运行有迟疾的差异，最慢时每天运行十二度多，最快时每天运行十四度太，其迟疾的最大差值为五度有余。
宋祖冲之始悟岁差。《书·尧典》曰：「日短星昴，以正仲冬；宵中星虚，以殷仲秋。」至今三千余年，中星所差三十余度，则知每岁有渐差之数，造《大明历》，率四十五年九月而退差一度。
南朝宋的祖冲之开始领悟到岁差。《尚书·尧典》说：“白天最短时星宿昴在正南，以此确定仲冬；夜晚中星虚在正南，以此确定仲秋。”至今三千多年，中星的位置相差了三十多度，由此知道每年有逐渐变化的数值，他造《大明历》，大约每四十五年九个月退差一度。
唐徐升作《宣明历》，悟日食有气，刻差数。旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。
唐朝的徐升作《宣明历》，领悟到日食有气和刻的差数。旧历推算日食都平均地求取食分，大多不准确，到这时推算日食，用气和刻的差数来增减，测量日食的分数，稍微接近天象验证。
《明天历》悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。自《元嘉历》后所立日法，以四十九分之二十六为强率，以十七分之九为弱率，并强弱之数为日法，朔余，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔余虚分为日法，盖自然之理。其气节加时，晋，汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。
《明天历》领悟到日月会合就是朔，所建立的日法，积年有自然的数值，以及通过立法推算日影，知道节气加时的所在。自从《元嘉历》后所建立的日法，以四十九分之二十六为强率，以十七分之九为弱率，合并强弱之数作为日法和朔余，此后各历法都效仿它。殊不知日月会合为朔，合并朔余的虚分作为日法，是自然的道理。其节气加时，从晋、汉以来大致粗略地取用，有半天的误差，现在立法推算，得以完全得到其数值。
后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之《乾元历》，马重绩之《调元历》，郭绍之《五纪历》也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验「春秋」日食，以明强弱。其于气序，则取验于「传」之南至。其日行盈缩，月行迟疾，五星加减，二曜食差，日宿月离，中星晷景，立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五年九月「辰弗集于房」，以至于今，其星辰气朔，日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后，有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行，孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四以上为远；其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远若较古而得数多，又近于今，兼立法，立数，得其理而通于本者为最也。」琮自谓善历，尝曰：「世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙」。而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。
后来的历法家，没有不遵循使用的。其中疏漏错误最严重的，就是苗守信的《乾元历》、马重绩的《调元历》、郭绍的《五纪历》。大概没有超出这些的了。然而造历的人，都必须通晓日月的运行，以此确定晦朔的数字，验证《春秋》中的日食，以明确强弱。对于节气顺序，则取验于《左传》中的冬至。其太阳运行的盈缩、月亮运行的迟疾、五星的加减、日月食的差数、太阳所在星宿、月亮的位置、中星和日影，建立数值和法则，都基于前面所说。然后进行校验，上自夏朝仲康五年九月“辰弗集于房”，直到现在，其星辰、气朔、日月交食等，使三千年间如同符合准绳。而有前有后、有亲有疏的，就是中正平和的数值，才可以施行于后世。其校验则依照一行和孙思恭的方法，取用多的数值而不取少的，才能得到亲密的结果。校验日月交食，如果误差在一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历法记载有食而天象验证无食，或天象验证有食而历法记载无食的为失。校验星度，以与天象相差二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远；校验日影尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。如果校验古代而得到的数值多，又接近现代，同时建立法则和数值，得其道理而通于根本的，就是最好的。”刘琮自称擅长历法，曾说：“世上懂历法的人很少，近代只有孙思恭最为精妙。”而孙思恭又曾推举刘羲叟为懂历法的人。